Intégrales et inégalités

Propriété

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a. Soit \(f\)  une fonction continue sur \([a~;~b]\) .

• Positivité :  si, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) on a  \(f (x) \geqslant 0\) , alors  \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x \geqslant 0\) .
• Conservation de l'ordre  : si, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) on a  \(f (x) \leqslant g(x)\) , alors  \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x \leqslant \displaystyle \int_a^b g(x)\text d x\) .
  

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a. Soit \(f\)  une fonction continue sur \([a~;~b]\) .

Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a~;~b]\) .

• On suppose ici que  \(f\)   est une fonction positive sur \([a~;~b]\) .
  Première méthode : \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\) est l'aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\) , en unité d'aire, dans un repère orthogonal. Donc \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\) est un nombre positif.
  Seconde méthode :  \(f\)   est une fonction positive sur \([a~;~b]\) donc \(F\)  est  croissante sur \([a~;~b]\) . Comme   \(a\leqslant b\) , alors on a  \(F(a)\leqslant F(b)\) soit \(F(b)-F(a) \geqslant 0\) .
  
• Pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) , on a  \(f (x) \leqslant g(x)\) soit \(g(x)-f(x)\geqslant 0\) . 
  \(g-f\) est une fonction continue sur \([a~;~b]\) .
  Donc, d'après la propriété de positivité, on a  \(\displaystyle \int_a^b(g(x)-f(x)) \text d x\geqslant 0\) .
  Par conséquent, par linéarité, on a  \(\displaystyle \int_a^bg(x) \text d x-\int_a^b f(x)\text d x\geqslant 0\) ,
  soit  \(\displaystyle \int_a^bg(x) \text d x\geqslant \int_a^b f(x)\text d x\) .